Radical de Jacobson

En el área de teoría de anillos de matemáticas, el radical de Jacobson​ de un anillo $R$ es el ideal $I$ cuyos elementos son aquellos que tienen la propiedad de anular todos los $R$-módulos simples por la derecha. Si se cambia la definición haciendo referencia a los $R$-módulos por la izquierda, el conjunto resultante es el mismo ideal, de modo que la definición es ambidiestra. $I$ (el radical de Jacobson) se suele escribir como $j(R)$

En álgebra conmutativa el radical de Jacobson ${\mathfrak {R}}$ (también denotado como $J(R)$ si $R$ es un anillo) de un anillo conmutativo con unitario A se define como la intersección de todos los ideales maximales de A. El radical de Jacobson es atribuido al matemático norteamericano Nathan Jacobson (1910-1999).

Propiedad

$x\in J(R)$ si y sólo si $1-xy$ es un elemento unitario en $R$ para cada $y\in R$.

Demostración

Supómgase que $1-xy$ no sea unitario. Entonces pertenece a algún ideal maximal ${\mathfrak {m}}$; pero $x\in J(R)$, luego $xy\in {\mathfrak {m}}$ y por tanto $1\in {\mathfrak {m}}$, lo cual es absurdo. Recíprocamente, supóngase que $x\notin {\mathfrak {m}}$ para algún ideal maximal ${\mathfrak {m}}$. Entonces ${\mathfrak {m}}$ y $x$ son generados por el ideal unitario $\langle 1\rangle$, así que tenemos que $u+xy=1$ para algún $u\in {\mathfrak {m}}$ y algún $y\in R$. Por lo que $1-xy\in {\mathfrak {m}}$ y, por lo tanto, no es unitario.

Bibliografía

• M.F. Atiyah & I.G. MacDonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. University of Oxford. Addison-Wesley Publishing Company.

• Datos: Q1677769